Bodrenko.com Bodrenko.org
§2.6. Внутренняя и внешняя полнота поверхности Назад // Вперед

    Пусть m-поверхность F в римановом многообразии W задается отображением

f: Vm → Wn.

   m-поверхность F называется замкнутой, если многообразие Vm замкнуто. Последовательность точек (многообразия, поверхности, пространства) называется расходящейся, если она не содержит сходящейся (в многообразии, поверхности, пространстве) подпоследовательности.

   m-поверхность F называется (полной или внутренне полной), если риманово многообразие (Vm, < Df, Df >) является полным метрическим пространством.

   В этом случае любая последовательность точек, расходящаяся на Vm, расходится в смысле метрики < Df, Df >, и обратно.

   Полная m-поверхность F в полном римановом многообразии Wn называется внешне полной, если любая расходящаяся последовательность точек поверхности F расходится в Wn.

   Например, внешне полными поверхностями в E3 являются все поверхности 2-го порядка.

   Примером 1-поверхности в E2, не являющейся внешне полной, является любая гладкая кривая бесконечной длины, которая лежит в ограниченной части плоскости.

   Примером внешне неполной 2-поверхности в E3 будет поверхность F, заданная уравнениями х = cos u, у = sin u, z = v, где (u, v) ∈ E2 (бесконечная «обмотка» цилиндра). Любая последовательность точек вида (u + 2πk, v), где k = 0, 1, ..., расходится в смысле метрики F, но стационарна в E3.