|
Пусть m-поверхность F в римановом многообразии W задается отображением
f: Vm → Wn.
m-поверхность F называется замкнутой, если многообразие Vm
замкнуто. Последовательность точек (многообразия, поверхности,
пространства) называется расходящейся, если она не содержит
сходящейся (в многообразии, поверхности, пространстве) подпоследовательности.
m-поверхность F называется (полной или внутренне полной),
если риманово многообразие (Vm, < Df, Df >) является полным метрическим пространством.
В этом случае любая последовательность точек, расходящаяся
на Vm, расходится в смысле метрики < Df, Df >, и обратно.
Полная m-поверхность F в полном римановом многообразии Wn
называется внешне полной, если любая расходящаяся
последовательность точек поверхности F расходится в Wn.
Например, внешне полными поверхностями в E3 являются все
поверхности 2-го порядка.
Примером 1-поверхности в E2, не являющейся внешне полной,
является любая гладкая кривая бесконечной длины, которая лежит
в ограниченной части плоскости.
Примером внешне неполной 2-поверхности в E3 будет
поверхность F, заданная уравнениями х = cos u, у = sin u, z = v, где
(u, v) ∈ E2 (бесконечная «обмотка» цилиндра). Любая
последовательность точек вида (u + 2πk, v), где k = 0, 1, ..., расходится
в смысле метрики F, но стационарна в E3.
|