Пусть Wn — гладкое многообразие с римановой метрикой
<ξ, ξ> = Σni,j=1 gij(x1, ..., xn)ξiξj, (2.11)
где x1, ..., xn — координаты точки а ∈ Wn, ξ ∈ TaWn. (Мы
считаем, что на Wn фиксирована некоторая карта и x1, ..., xn — локальные координаты в этой карте.)
Рассмотрим гладкую поверхность F в Wn, заданную
уравнениями (2.2). Возьмем на F точку (u, f(u)) и касательную плоскость Tf(U)F к F в этой точке.
Определим квадратичную форму на TuVm равенством
<α, α>f = < Df(α), Df(α)>. (2.12)
Поскольку в формуле (2.12) квадратичная форма в правой части не зависит от погружения, а зависит лишь от точки
поверхности F и римановой метрики (2.11), то можно говорить о квадратичной форме <α, α>F поверхности F.
Тем самым погружение f индуцирует на Vm риманову метрику <α, α>F.
Квадратичная форма <α, α>F называется первой квадратичной формой поверхности F.
В локальных координатах u1, ..., um квадратичную форму
<α, α>f можно получить, подставляя в (2.12) вектор
где dxi/dτ выражаются по формулам (2.8):
(2.13)
где
(2.14)
Отметим, что в случае, когда Wn ∈ Е3, а поверхность F задается вектор-функцией r = r(u, v),
G11 = r2u = Е, G12 = G21 = (ru, rv) = F, G22 = r2v = G.
Пусть Vm — риманово многообразие с римановой метрикой <α, α>.
Говорят, что Сr-погружение (вложение)
f: Vm → Wn
является изометрическим Сr-погружением (вложением) риманова многообразия (Vm, <α, α>) в Wn, если для всех u ∈ Vm и всех
α ∈ Tf(u)f(Vm)
< Df(α),Df(α)> = <α, α>. (2.15)
Понятие об изометрическом погружении может быть сформулировано для общих метрических многообразий. Именно, пусть (Vm, ρ),
(Wn, ρ1) — метрические многообразия и f: Vm → Wn — вложение
Vm в Wn. Тогда, если метрика ρ1 многообразия Wn индуцирует на
f(Vm) метрику во внутреннем смысле, совпадающую с ρ, говорят об изометрическом вложении Vm в Wn.
|