Bodrenko.com Bodrenko.org
§2.4 Погружение в риманово многообразие. Изометрическое погружение Назад // Вперед

    Пусть Wn — гладкое многообразие с римановой метрикой

<ξ, ξ> = Σni,j=1 gij(x1, ..., xniξj, (2.11)

где x1, ..., xn — координаты точки а ∈ Wn, ξ ∈ TaWn. (Мы считаем, что на Wn фиксирована некоторая карта и x1, ..., xn — локальные координаты в этой карте.) Рассмотрим гладкую поверхность F в Wn, заданную уравнениями (2.2). Возьмем на F точку (u, f(u)) и касательную плоскость Tf(U)F к F в этой точке. Определим квадратичную форму на TuVm равенством

<α, α>f = < Df(α), Df(α)>. (2.12)

Поскольку в формуле (2.12) квадратичная форма в правой части не зависит от погружения, а зависит лишь от точки поверхности F и римановой метрики (2.11), то можно говорить о квадратичной форме <α, α>F поверхности F. Тем самым погружение f индуцирует на Vm риманову метрику <α, α>F. Квадратичная форма <α, α>F называется первой квадратичной формой поверхности F. В локальных координатах u1, ..., um квадратичную форму <α, α>f можно получить, подставляя в (2.12) вектор

где dxi/dτ выражаются по формулам (2.8):

(2.13)

где

(2.14)

Отметим, что в случае, когда Wn ∈ Е3, а поверхность F задается вектор-функцией r = r(u, v),

G11 = r2u = Е, G12 = G21 = (ru, rv) = F, G22 = r2v = G.

Пусть Vm — риманово многообразие с римановой метрикой <α, α>. Говорят, что Сr-погружение (вложение)

f: Vm → Wn

является изометрическим Сr-погружением (вложением) риманова многообразия (Vm, <α, α>) в Wn, если для всех u ∈ Vm и всех α ∈ Tf(u)f(Vm)

< Df(α),Df(α)> = <α, α>. (2.15)

Понятие об изометрическом погружении может быть сформулировано для общих метрических многообразий. Именно, пусть (Vm, ρ), (Wn, ρ1) — метрические многообразия и f: Vm → Wn — вложение Vm в Wn. Тогда, если метрика ρ1 многообразия Wn индуцирует на f(Vm) метрику во внутреннем смысле, совпадающую с ρ, говорят об изометрическом вложении Vm в Wn.