Bodrenko.com Bodrenko.org
§2.2 Регулярные поверхности Назад // Вперед

   Пусть Vm и WnСr-многообразия (r ≥ 1, m ≤ n) и U" = {(U, φ)}, B" = {(G, ψ)} — некоторые атласы класса Сr на Vm и Wn. Локальные координаты в картах (U, φ) ∈ U" и (G, φ) ∈ B" будем обозначать соответственно через u1, ..., um и x1, ..., xn.

   Рассмотрим Сr-отображение

f: VmWn   (2.1)
.

Оно задается в соответствующих картах равенствами

xi = fi(u1, ..., um), i = 1, ..., n.    (2.2)

Пусть ранг матрицы

   (2.3)

равен m в каждой точке u ∈ Vm. Очевидно, ранг D(f) не зависит от выбора атласов на Vm и Wn.

   В силу известной теоремы анализа о системе неявных функций для каждой точки u ∈ Vm найдется такая координатная окрестность U ⊂ Vm, что f|U: U → Wn есть вложение, поскольку множество f(U) допускает явное задание x1 = u1, ..., um = um, xm+1 = φ1(u1, ..., um), ..., xn = φn-m(u1, ..., um) (где все φi ∈ Cr(U)) предположении, что в точке u

   (2.3)

Отсюда следует, что отображение f будет погружением.

   Cr-погружения f: Vm → Wn и g: Vm → Wn Cr-многообразий Um и Vm в Cr-многообразие Wn называются Cr-эквивалентными, если существует такой Cr-диффеоморфизм φ: Um → Vm, что gφ = f.

   m-поверхностью класса Cr в Wn называется класс Cr-экивалентных погружений m-мерных многообразий в Wn.

   Каждое погружение из этого класса называется Cr-параметризацией (или r-регулярной параметризацией).

   При r = 1 m-поверхность называется гладкой.

   Для кривой, заданной уравнением r = r(t), сформулированноэ выше условие r-регулярности m-поверхности означает, что

1) r(t) ∈ Cr;   2) r'(t) ≠ 0;   (2.5)

а для 2-поверхности в Е3, заданной уравнением r = r (u, v),—

1) r(u, v) ∈ Cr;   2) ru × rv ≠ 0   (2.6)

   В заключение этого пункта отметим следующий результат, принадлежащий X. Уитни.

   Теорема 1. Любое многообразие класса Cr (r ≥ 2) размерности n допускает вложение класса Cr в E2n+1.