Пусть V^m и Wⁿ — С^r-многообразия (r ≥ 1, m ≤ n) и U" = {(U, φ)}, B" = {(G, ψ)} — некоторые атласы класса С^r на V^m и Wⁿ. Локальные координаты в картах (U, φ) ∈ U" и (G, φ) ∈ B" будем обозначать соответственно через u₁, ..., u_m и x₁, ..., x_n.

   Рассмотрим С^r-отображение

Оно задается в соответствующих картах равенствами

Пусть ранг матрицы

   (2.3)

равен m в каждой точке u ∈ V^m. Очевидно, ранг D(f) не зависит от выбора атласов на V^m и Wⁿ.

   В силу известной теоремы анализа о системе неявных функций для каждой точки u ∈ V^m найдется такая координатная окрестность U ⊂ V^m, что f|_U: U → Wⁿ есть вложение, поскольку множество f(U) допускает явное задание x₁ = u₁, ..., u_m = u_m, x_m+1 = φ₁(u₁, ..., u_m), ..., x_n = φ_n-m(u₁, ..., u_m) (где все φ_i ∈ C^r(U)) предположении, что в точке u

   (2.3)

Отсюда следует, что отображение f будет погружением.

   C^r-погружения f: V^m → Wⁿ и g: V^m → Wⁿ C^r-многообразий U^m и V^m в C^r-многообразие Wⁿ называются C^r-эквивалентными, если существует такой C^r-диффеоморфизм φ: U^m → V^m, что gφ = f.

   m-поверхностью класса C^r в Wⁿ называется класс C^r-экивалентных погружений m-мерных многообразий в Wⁿ.

   Каждое погружение из этого класса называется C^r-параметризацией (или r-регулярной параметризацией).

   При r = 1 m-поверхность называется гладкой.

   Для кривой, заданной уравнением r = r(t), сформулированноэ выше условие r-регулярности m-поверхности означает, что

а для 2-поверхности в Е³, заданной уравнением r = r (u, v),—

   В заключение этого пункта отметим следующий результат, принадлежащий X. Уитни.

   Теорема 1. Любое многообразие класса C^r (r ≥ 2) размерности n допускает вложение класса C^r в E²ⁿ⁺¹.