Понятие угла в метрическом пространстве было введено А. Д. Александровым [Зж, к]. Пусть из точки а ∈ (Х, ρ) исходят две простые дуги L и К, и пусть точка х ∈ L а точка у ∈ K. Рассмотрим плоский треугольник а^'х^'у^', длины сторон которого соответственно равны ρ(а, х), ρ(х, у), ρ(а, у). В силу аксиом метрического пространства такой треугольник существует. Обозначим γ(х, у) угол в треугольнике а^'х^'у^' при вершине а^'.

   Верхним углом между дугами L и К в точке а называется верхний предел

Если существует предел γ(х, у) при х → а и у → а, то он называется углом между дугами L и К в точке а и обозначается α. Треугольником называется фигура, состоящая из трех различных точек (вершин треугольника) и трех попарно соединяющих их кратчайших (сторон треугольника).

   В ряде вопросов геометрии «в целом» рассматриваются так называемые пространства кривизны, не большей К. Это пространства, в которых у любого треугольника сумма его верхних углов не больше, чем у треугольника с теми же длинами сторон на плоскости постоянной кривизны К. Сходным образом определяются пространства кривизны, не меныией К.