Кривая L в пространстве (X, ρ) называется кратчайшей, если ее длина наименьшая среди всех кривых стеми же концами, Очевидно, что в пространстве с внутренней метрикой кривая является кратчайшей тогда и только тогда, когда ее длина равна расстоянию между ее концами. Очевидно, кратчайшая является простой дугой, ибо в противном случае мы бы смогли сократить ее длину.

   Кривая γ называется геодезической, если любая ее точка имеет такую окрестность, что каждая дуга кривой γ, попавшая в эту окрестность, является кратчайшей.

   Теорема 6. В полном метрически связном пространстве (X, ρ), в котором каждый замкнутый шар компактен, любые две точки соединимы кратчайшей.

   Доказательство. Пусть L - спрямляемая кривая с концами в данных точках х и у. Рассмотрим семейство Λ всех кривыс концами в точках х и у, длины которых не превосходят s(L). Семейство Λ, очевидно, лежит в ограниченной части пространства поэтому существует замкнутый шар , содержащий все кривые семейства Λ. В силу полноты пространства (X, ρ) шар компактен. Рассмотрим такую последовательность кривых L_n ∈ Λ, что

По теореме 4 из последовательности L_n, выделим подпоследо вательность L_nk, сходящуюся к некоторой кривой L₀. В силу теоремы 5, s(L₀) = s₀, т. е. кривая L₀ - кратчайшая. Теорема доказана.

   3амечание. Если в теореме 6 метрика пространства внутренняя, то s₀ = ρ(х, у).