Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.3 Длина дуги как параметр Назад // Вперед

   Произвольная параметризация кривой L в (Х, ρ) не имеет прямого геометрического смысла. Поэтому для спрямляемых кривых было бы естественно ввести в качестве параметра длину переменной дуги, один из концов которой фиксирован и совпадает с каким-нибудь концом кривой. Такая возможность действительно имеется благодаря лемме 2.

Однако здесь имеется одно затруднение. Пусть

l: х = f(τ),    τ ∈ [а, b],

есть некоторая параметризация спрямляемой кривой L. Допустим, что при всех τ из некоторого сегмента 1, τ2] ⊂ [а, b] точка f(τ) одна и та же. В таком случае длина дуги с концами f(τ1) и f(τ2) пути l равна нулю. Отсюда ясно, что длина переменной дуги на l не может быть использована в качестве параметра на L, ибо функция s(τ) не имеет обратной. Поэтому для спрямляемых кривых удобно ввести параметризацию, удовлетворяющие одному дополнительному условию.

   Отображение f: [а, b] → (Х, ρ) будем называть постоянным на отрезке1, τ2] ⊂ [а, b], если f(τ) = f(τ1) при всех τ ∈ [τ1, τ2].

   Отображение f: [а, b] → (Х, ρ) будем называть нигде не постоянным, если оно не постоянно ни на каком отрезке 1, τ2] ⊂ [а, b].

   Путь l: х = f (τ), τ ∈ [а, b], будем называть невырожденным, если отображение f: [а, b] → (Х, ρ) нигде не постоянно.

   Отметим, что для невырожденности пути необходимо и достаточно, чтобы функция s = s(τ) была строго возрастающей. Тем самым функция s = s(τ) становится обратимой. Очевидно, путь, эквивалентный невырожденному пути, невырожден.

   Теперь естественно рассматривать классы эквивалентных новорожденных путей и каждый такой класс называть невырожденной кривой. Впредь мы будем рассматривать, как правило, только невырожденные кривые, опуская, где это не вызовет недоразумений, термин "невырожденные".

   Теорема 3. На всякой невырожденной спрямляемой кривой L в качестве параметра может быть взята длина переменной дуги с фиксированным концом, совпадающим с одним из концов данной кривой.

   Доказательство. Пусть невырожденный чуть

l: х = f(τ),    τ ∈ [а, b],

есть некоторая параметризация кривой L. Рассмотрим функцию s = s(τ). Так как функция s(τ), согласно лемме 2 и невырожденности пути l, строго возрастает и непрерывна, то существует обратная функция τ = τ(s), непрерывная и строго возрастающая на отрезке [0, S], где S - длина кривой L. Тогда путь

m: х = g(s) ≡ f(τ(s)),    s ∈ [0, S],   (1.9)

есть невырожденная параметризация кривой L. Это вытекает из гомеоморфизма между отрезками [а, b] и [0, S], установленного выше.