|
Произвольная параметризация кривой L в (Х, ρ) не имеет прямого геометрического смысла.
Поэтому для спрямляемых кривых было бы естественно ввести в качестве параметра длину переменной дуги,
один из концов которой фиксирован и совпадает с каким-нибудь концом кривой.
Такая возможность действительно имеется благодаря лемме 2.
Однако здесь имеется одно затруднение. Пусть
l: х = f(τ), τ ∈ [а, b],
есть некоторая параметризация спрямляемой кривой L.
Допустим, что при всех τ из некоторого сегмента [τ1, τ2] ⊂ [а, b]
точка f(τ) одна и та же.
В таком случае длина дуги с концами f(τ1) и f(τ2) пути l равна нулю.
Отсюда ясно, что длина переменной дуги на l не может быть использована в качестве параметра на L,
ибо функция s(τ) не имеет обратной.
Поэтому для спрямляемых кривых удобно ввести параметризацию, удовлетворяющие одному дополнительному условию.
Отображение f: [а, b] → (Х, ρ) будем называть постоянным на отрезке
[τ1, τ2] ⊂ [а, b], если f(τ) = f(τ1) при всех τ ∈ [τ1, τ2].
Отображение f: [а, b] → (Х, ρ) будем называть нигде не постоянным,
если оно не постоянно ни на каком отрезке [τ1, τ2] ⊂ [а, b].
Путь l: х = f (τ), τ ∈ [а, b], будем называть невырожденным,
если отображение f: [а, b] → (Х, ρ) нигде не постоянно.
Отметим, что для невырожденности пути необходимо и достаточно, чтобы функция
s = s(τ) была строго возрастающей.
Тем самым функция s = s(τ) становится обратимой. Очевидно, путь, эквивалентный невырожденному пути, невырожден.
Теперь естественно рассматривать классы эквивалентных новорожденных путей и каждый такой класс
называть невырожденной кривой. Впредь мы будем рассматривать, как правило, только
невырожденные кривые, опуская, где это не вызовет недоразумений,
термин "невырожденные".
Теорема 3. На всякой невырожденной спрямляемой кривой
L в качестве параметра может быть взята длина переменной дуги
с фиксированным концом, совпадающим с одним из концов данной
кривой.
Доказательство. Пусть невырожденный чуть
l: х = f(τ), τ ∈ [а, b],
есть некоторая параметризация кривой L. Рассмотрим функцию
s = s(τ). Так как функция s(τ), согласно лемме 2 и невырожденности пути l,
строго возрастает и непрерывна, то существует обратная функция τ = τ(s), непрерывная и строго возрастающая на
отрезке [0, S], где S - длина кривой L. Тогда путь
m: х = g(s) ≡ f(τ(s)), s ∈ [0, S], (1.9)
есть невырожденная параметризация кривой L. Это вытекает из гомеоморфизма между отрезками
[а, b] и [0, S], установленного выше.
|