Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.2 Длина кривой Назад // Вперед

Пусть l: х = f(t), t ∈ [a, b], - некоторый путь в пространстве (Х,ρ). Рассмотрим различные разбиения

ξ: a = t0 < t1 < ... < tn = b

отрезка [a, b] и соответствующие им суммы

σ(ξ) = ∑ni=1 ρ(f(ti-1), f(ti))    (1.1)

Обозначим через Ξ совокупность всех таких разбиений. Длиной пути l назовем

s(l) = supξ∈Ξ σ(ξ).

Если s(l) < +∞, то говорят, что путь l спрямляем.

   Теорема 1. Длины эквивалентных путей равны.

Доказательство вытекает непосредственно из определения эквивалентных путей и длины пути. Теперь естественно определить длину кривой как длину любого пути, представляющего эту кривую.

   Лемма 1. Если спрямляемый путь

l: х = f(t), t ∈ [a, b],

разбит точкой f(с), где с ∈ (а, b), на дуги

l1: х = f(t), t ∈ [a, c],

и

l2: х = f(t), t ∈ [c, d]

то

s(l) = s(l1) + s(l2).

   Доказательство. Пусть

ξ1: a = t0 < t1 < ... < tp = c

- любое разбиение отрезка [а, c] и

ξ2: c = tp < tp+1 < ... < tn = b

- любое разбиение отрезка [c, b]. Тогда

ξ: a = t0 < ... < tp < tp+1 < ... < tn = b

есть некоторое разбиение отрезка [а, b] и, следовательно,

s(l1) + s(l2) = supξ1ρi=1 ρ(f(ti-1), f(ti)) + supξ2ni=p+1 ρ(f(ti-1), f(ti)) = supξni=1 ρ(f(ti-1), f(ti)) ≤ s(l).

Итак,

s(l1) + s(l2) ≤ s(l).   (1.2)

Докажем, что

s(l1) + s(l2) ≥ s(l).   (1.3)

Зададим некоторое ε > 0 и выберем такое разбиение

ξ: a = t0 < t1 < ... < tn = b,

что

s(l) - σ(ξ) < ε.

Пусть точка с ∈ [ti, ti+1]. Рассмотрим разбиения

ξ': a = t0 < t1 < ... < ti < c ,

отрезка [а, c],

ξ'': c ≤ ti+1 < ti+2 < ... < tn = b,

отрезка [c, b] и

ξ*: a = t0 < t1 < ... < ti < c < ti+1 < ... < tn = b,

отрезка [а, b]. Поскольку

ρ(f(ti), f(с)) + ρ(f(c), f(ti+1)) ≥ ρ(f(ti), f(ti+1)),

то

ε > s(l) - σ(ξ) ≥ s(l) - σ(ξ*) = s(l) - σ(ξ') - σ(ξ'') ≥ s(l) - sup σ(ξ') - sup σ(ξ'') = s(l) - s(l1) - s(l2),

или

s(l1) + s(l2) ≥ s(l) - ε.

Так как ε > 0 произвольно, то справедливо (1.3). Из (1.2) и (1.3) вытекает утверждение леммы.

Из леммы 1 непосредственно получаем аналогичное предложение для кривой.

   Теорема 2. Если некоторая точка разбивает спрямляемую кривую на две дуги, то сумма длин этих дуг равна длине кривой. Пусть дан спрямляемый путь l: х = f(t), t ∈ [а, b]. Обозначим через s(τ) длину дуги

lτ: х = f(t), t ∈ [а, τ] ⊂ [а, b].

   Лемма 2. Функция s(τ) есть непрерывная и неубывающая функция τ ∈ [а, b].

   Доказательство. Неубывание функции s(τ) следует из леммы 1 и неотрицательности длины. Мы ограничимся здесь доказательством непрерывности функции s(τ) справа; непрерывность этой функции слева устанавливается аналогично.

Предположим теперь, что функция s(τ) в некоторой точке τ* ∈ [а, b] не является непрерывной справа. Так как функция s(τ) не убывает, то это означает, что найдется такое ε > 0, что для любого δ > 0 существует такое Δτ, что 0 < Δτ < δ

s(τ* + Δτ) - s(τ*) ≥ ε.   (1.4)

Рассмотрим разбиение отрезка

ξ: a = τ0 < τ1 < ... < τn = b

такое, что

s(b) < σ(ξ) + ε/2.   (1.5)

Как мы уже видели, добавление новых точек деления отрезка [а, b] разве лишь увеличивает сумму σ(ξ). Поэтому, вставив, если нужно, две точки в разбиение ξ, всегда можно считать, что в ξ имеются две соседние точки τj = τ*, τj+1 = τ*+ Δτ, причем, в силу непрерывности отображения f: [а, b] → (Х, ρ), Δτ выбрано так, чтобы

ρ(f(τj), f(τj+1)) < ε/2,   (1.6)

Путь l разбит на три дуги, соответствующие промежуткам [а, τj], j, τj+1] и j+1, b]. Из леммы 1 имеем, что длины этих дуг соответcтвенно равны s(τj), s(τj+1) - s(τj) и s(b) - s(τj+1); при этом, используя определение длины пути, имеем

s(τj) ≥ ρ(f(τi-1), f(τi))   (1.7),

s(b) - s(τj+1) ≥ ρ(f(τi-1), f(τi)).    (1.8)

Из неравенств (1.5), (1.7) и (1.8) получаем

s(b) < s(τj) + [s(b) - s(τj+1)] + ρ(f(τj), f(τj+1)) + ε/2.

Отсюда, в силу (1.6), имеем

s(τ* + Δτ) - s(τ*) = s(τj+1) - s(τj) < ρ(f(τj), f(τj+1)) + ε/2 < ε.

Последнее неравенство противоречит неравенству (1.4), что и доказывает лемму.