Раздел "Дифференциальная геометрия" содержит основные понятия теории кривых и поверхностей, основные факты внутреней и внешней геометрии поверхностей.

   
   Полугруппа — множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
   Группа — множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.
   Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
   Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
   Линейным векторным пр-вом над кольцом — множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
   Алгеброй нам кольцом скаляров с единицей — множество объектов с определенными над ними тремя операциями сложения, умножения и умножения на элементы из кольца скаляров, что оно является кольцом по первым двум операциям и линейным векторным пр-вом над кольцом скаляров.
   Факторгруппа — множество объектов, являющиеся собой классами эквивалентности некоторой заданной группы G по подгруппе Н, каждый из которых получается последовательным сложением элементов из группы G с заданным элементом из подгруппы Н. Факторгруппа обозначается G/H.
   Отображением одного множества в другое — набор правил сопоставляющих каждому объекту из первого множества объект из второго множества, называемого образом отображения.
   Мономорфизм — отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом.
   Эпиморфизм — такое отображение, что для каждой точки образа существует элемент из прообраза, который в него перешел.
   Система координат — отображение некоторого пространства в числовые последовательности фиксированной длины, называемые координатами.
   Дифференциалом отображения из множества с системой координат u, v во множество с системой координат x, y — отображение касательных пр-в V_u в V_v, задаваемое матрицей D(x, y)/D(u, v).
   Рангом квадратной матрицы порядка n — число ее линейно независимых строк.
   Ранг — максимальным, если он совпадает с порядком матрицы.
   Метрическое пр-во — такое множество объектов, называемых точками, что для каждой упорядоченной пары точек этого множества определено неотрицательное действительное число, удовлетворяющее правилом треугольника и называемое расстоянием или метрикой.
   Окрестностью радиуса R точки метрического пространства наз. — множество точек, расстояние от которых до заданной точки не превышает радиуса.
   Предельной точкой множества в метрическом пространстве наз. — такая точка, что в любой сколь угодно малой окрестности этой точки найдется, по крайней мере, одна точка из этого множества кроме ее самой.
   Открытое — такое множество, что для каждой его точки существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве.
   Замкнутое множество — такое множество, дополнение к которому открыто.
   Компактное — ограниченное замкнутое множество.
   Связанное — множество, которое нельзя представить в виде непересекающихся множеств, таких, что одно множество не содержит предельную точку другого.
   Область — открытое связанное множество.
   Непрерывным в точке а отображением f топологического пространства С в С’ наз. такое отображение, что для каждой окрестности U’ точки f(a) в С’ существует такая окрестность точки a в С, образ которой содержится в U’.
   Непрерывным отображением наз. отображение, непрерывное в каждой точке.
   Гладким отображением наз. непрерывное отображение.
   Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение.
   Координатный гомеоморфизм — отображение карты атласа М в соответствующую область V из Rⁿ.
   Диффеоморфизмом f наз. гомеоморфизм являющийся гладким отображением, такой, что обратное отображение тоже является гладким.
   Локальной системой координат наз. система координат в области V евклидова пространства Rⁿ, где V – образ некоторой карты мн-зия M.
   Погружением наз. такое гладкое отображение из одного мн-зия в другое, что во втором мн-зии выделяется некая подобласть, для которой имеет место взаимно однозначное соответствие с точками исходного мн-зия.
   Вложением наз. такое погружение, если образом погружения является замкнутое множество.
   Подмн-зием наз. образ мн-зия при вложении.
   Ориентируемым мн-зием наз. такое мн-зие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан
   Касательным пр-вом в точке a мн-зия М наз. совокупность касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.
   Базисным наз. такое векторное поле на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.
   Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.
   Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.
   Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.
   Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.
   Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.
   Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.
   Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.
   Сосредоточенной, относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.
   Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.
   Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.