Bodrenko.com Bodrenko.org
Осталось времени:
Векторное уравнение соприкасающейся плоскости к γ в точке t0 имеет вид:
(R - r(t0), r'(t0), r''(t0))
(R - r(t0), r'(t0))
(R - r(t0))
Что называется касательным вектором к гладкой кривой γ в точке t0
Вектор r(t)
Вектор r'(t0)
Вектор r(t0)
Кривая называется регулярной в точке t0 если:
t = t0
r'(t0) = 0
r'(t0) ≠ 0
Векорное параметрическое уравнение касательной к γ в точке t0 имеет вид:
R = r(t0) + λr'(t0)
R = r(t0) + r'(t0)
R = λr'(t0)
Главной нормалью кривой γ в точке t0 называется:
нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой γ в точке (M0)
Бинормалью кривой γ в точке (t0) называется:
плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой γ в точке (M0)
нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
Нормальной плоскостью кривой γ в точке (t0) называется:
плоскость, проходящая через главную нормаль и бинормаль кривой γ в точке (M0)
нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
Спрямляемой плоскостью кривой γ в точке (t0) называется:
нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой γ в точке (t0)
плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль кривой γ в точке (t0)
плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой γ в точке (M0)
Кривизна k(t) регулярной кривой γ в произвольной точке t ∈ I вычисляется по формуле:
k(t) = |[r'(t), r''(t)]| / |r'(t)|
k(t) = |[r'(t), r''(t)]| / |r'(t)|2
(t) = |[r'(t), r''(t)]| / |r'(t)|3
Точка t0 ∈ I называется точкой общего положения кривой γ, если:
k(t0) ≠ 0
k(t0) = 0
k(t0) = ∞
Кривизна кривой, заданной следующим уравнением r = {a*cos(t), b*sin(t)}, в вершине равна:
a/b2
b/a2
a/b3
b/a3
Вычислить радиусы кривизны и кручения кривой x³ = 3a²y, 2xz = a² в точке x = a:
8a/9
-8a/9
9a/8
-9a/8
Найти кривизну и кручение кривой r = {t - sin(t), 1 - cos(t), 4sin(t/2)} в точке t = 0:
2½/4
-2½/4
2½/2
-2½/2
Кривизна кривой, заданной следующим уравнением r = cos(x), в вершине равна:
X=
Найти длину дуги винтовой линии x = 3a cos(t), y = 3a sin(t), z = 4at от точки пересечения с плоскостью xOy до произвольной точки M(t):

Найти длину дуги кривой x³ = 3a²y, 2xy = a² между плоскостями y = a/3 и y = 9a:

Найти длину замкнутой кривой x = cos³(t), y = sin³(t), z = cos(2t):

Вычислить кривизну кривой, в вершине, заданную следующим уравением y = cos(x):

Вычислить кривизну кривой, в точке x = 0, заданную следующим уравением y = -ln(cos(x)):

В каждой точке кривой x = t - sin(t), y = 1 - cos(t), z = 4sin(t/2) в полодительном направлении главной нормали отложен отрезок, равный учетверенной кривизне кривой в этой точке. Найти уравнение соприкасающейся плоскости кривой, описанной концом отрезка:
y=
Найти производную функции f = yzex по направлению ее градиента:

Вычислить кривизку кривой y = sin(x) в вершине:

Вычислить кривизну кривой, заданную следующими уравениями x = 3t², y = 3t - t³ при t = 1:
Являются ли гладкими многообразиями следующие кривые на плоскости: a) треугольник; б) два треугольника, имеющие только одну общую точку - вершину?
 a) 
 б) 
Найти кривизну и кручение кривой r = {t - sin(t), 1 - cos(t), 4sin(t/2)} в точке t = Pi/4:
 k= 
 χ= 
Если Ω совпадает с множеством всех подмножеств множества X, то топологическое пространство (X,Ω) называется:
дискретным
антидискретным
метрическим
Внутренность множества А обозначается:
O(A)
Int A
X\A
Множество F из X называется ... в пространстве (X,Ω), если его дополнение X\F открыто, то есть X\F принадлежит Ω:
открытым
замкнутым
производным
В T1 - пространстве (X,Ω) любое одноточечное множество:
замкнуто
открыто
... всех открытых в Х множеств, содержащих точку х, совпадает с {x}.
объединение
пересечение
вычитание
В дискретном топологическом пространстве каждое подмножество:
открыто
не открыто
замкнуто
не замкнуто
Какое из свойств совокупности {Oα(x)} неверно:
пересечение любого семейства окресностей точки х есть окресность точки х
пересечение конечного числа окресностей точки х есть окресность точки х
всякое множество, содержащее некоторую окресность точки х, является окресностью точки х
Какое из множеств А не открыто и не замкуто на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
A={1,1/2,1/3,...,1/n,...}
A={1,1/2,1/4,...,1/(2*n),...}
A={1,1/3,1/9,...,1/(n*n),...}
Какой из примеров Int A для некоторых множеств А на числовой прямой R1 со стандартной топологией неверен:
A=[0,1], то Int A=(0,1)
A=(0,1], то Int A=(0,1)
A=(0,1), то Int A=(0,1)
Какое из утверждений неверно:
Int (A∩B) = Int A ∩ Int B
A⊂B, то Int A ⊂ Int B
Int(Int A) = Int2 A
Как называют многообразия:
 компактные   
 некомпактные 
Вычислить кривизку кривой y = a ch(x/2) в вершине:
a/y²
a/y
y/a²
Вычислить кривизку кривой r² = a² cos(2φ) в вершине:
r/a²
2r/a²
3r/a²
Вычислить кривизку кривой r = a(1 + cos(φ)) в вершине:
1/(4a|cos(φ/2)|
3/(4a|cos(φ/2)|
1/(4a|cos(3φ/2)|
Вычислить кривизку кривой r = aφ в вершине:
2+φ/a(1+φ)3/2
φ²/a(φ²)3/2
2+φ²/a(1+φ²)3/2
Вычислить кривизку кривой r(t) = (a cos³(t), a sin³(t)) в вершине:
3a|sin(t)cos(t)|
1/3a|sin(t)cos(t)|
3/a|sin(t)cos(t)|
Вычислить кривизку кривой r(t) = (a(t - sin(t)), a(1 - cos(t))) в вершине:
1/4a|sin(t/2)|
4a|sin(t/2)|
2a|sin(t/4)|
Расставьте соответствие:
 r = (a cos(u), b sin(u), cv)                           
 r = (av cos(u), bv sin(u), cv)                       
 r = (a cos(u)cos(v), b sin(u)cos(v), c sin(v))
 r = (a cos(u)cos(v), a sin(u)cos(v), a sin(v))
Пусть Х - числтвая прямая R1 со стандартной топологией, Z - множество всех целых чисел, тогда Z:
замкнуто в X
не замкнуто в X
Множество А = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n,...} на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
открыто
не открыто
замкнуто
не замкнуто
Множество Q всех рациональных чисел на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
открыто
не открыто
замкнуто
не замкнуто
Множество R1/Q всех иррациональных чисел на R1:
открыто
не открыто
замкнуто
не замкнуто
Пусть А - подмножество топологического пространства Х, тогда ∂A
замкнуто в X
не замкнуто в X
Пусть Q - множество рациональных точек на числовой прямой R1 со стандартной топологией, тогда множество Q
компактно
не компактно
В хаусдорфовом пространстве любое конечное множество:
имеет хотя бы одну предельную точку
все точки множества являются предельными
не имеет предельных точек
Любое антидискретное пространство:
связно
несвязно
Дискретное пространство, в котором больше одной точки:
связно
несвязно
Числовая прямая R1 со стандартной топологией:
связна
несвязна
А множество райиональных точек на числовой прямой R1 со стандартной топологией, принадлежащих интервалу (0,1): А = Q∩(0,1), тогда:
компактное множество
некомпактное множество
А некомпактное множество
А предкомпакт
Компактное подмножество А хаусдорфова пространства(Х, Ω):
хаусдорфово
замкнуто
открыто
открыто и замкнуто
Пусть А = (0, 1], то:
внутренность множества А связное множество
граница ∂A связное множество
граница ∂A несвязное множество
связное множество
несвязное множество
Пусть Q множество всех рациональных чисел на числовой прямой R1 со стандартной топологией, тогда:
Q несвязно
замыкание Q несвязно
замыкание Q связно
граница Q несвязное множество
граница Q связное множество